ম্যাট্রিক্স (Matrix)
বিজ্ঞান ও গণিত এর বিভিন্ন তথ্য আয়তাকার সারি (অনুভূমিক রেখা) ও কলাম (উলম্ব রেখা) বরাবর সাজালে যে আয়তাকার বিন্যাস (rectangular arrays) পাওয়া যায় একে ম্যাট্রিক্স বলে।
ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলাম (Rows & Columns of Matrix)
ম্যাট্রিক্সে সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাসকে দুই প্রকারে বিশ্লেষণ করা হয়। যথা: অনুভূমিক রেখা বরাবর এবং উলম্ব রেখা বরাবর। সংখ্যাগুলির আনুভূমিক লেখাগুলিকে সারি এবং উলম্ব রেখাগুলিকে কলাম বলা হয়।
ম্যাট্রিক্সের ক্রম (Order of Matrix)
m সংখ্যক সারি ও n সংখ্যক কলাম বিশিষ্ট কোনো ম্যাট্রিক্সকে m×n (m বাই n) ক্রমের ম্যাট্রিক্স বলা হয়। কোনো ম্যাট্রিক্সের ভুক্তি সংখ্যা এর সারি ও কলামের গুণফলের সমান হয়।
ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ (Types of matrix)
সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix)
যে ম্যাট্রিক্সের কেবল একটি সারি বিদ্যমান থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।
কলম ম্যাট্রিক্স (Column Matrix)
যে ম্যাট্রিক্সের কেবল একটি কলাম বিদ্যমান থাকে তাকে কলা ম্যাট্রিক্স বলে।
বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix)
যে ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলামের সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে। যেমন:[𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎21𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33]⎣⎡a11a21a31a12a21a32a13a23a33⎦⎤
একটি 3×3 ক্রমের বা সংক্ষেপে 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স।
মুখ্য বা প্রধান কর্ণ (Principal Diagonal)
মনে করি, 𝐴=(𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑛A=(aij)n×n একটি n ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স। এখন 𝑎11,𝑎22,𝑎33,…,𝑎𝑛𝑛a11,a22,a33,…,ann ভক্তিগুলো নিয়ে যে বর্গ গঠিত তাকে মুখ্য বা প্রধান কর্ণ বলা হয়।
ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স (Upper Triangular Matrix)
কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স 𝐴=(𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑛A=(aij)n×n এর মুখ্য বা প্রধান কর্ণের নিম্নস্থ সবগুলি ভুক্তি 0 হলে ( অর্থাৎ 𝑎𝑖𝑗=0aij=0 যখন i<j) তাকে ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স (Lower Triangular Matrix)
কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স 𝐴=(𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑛A=(aij)n×n এর মুখ্য বা প্রধান কর্ণের উপর সবগুলো ভুক্তি 0 হলে ( অর্থাৎ 𝑎𝑖𝑗=0aij=0 যখন i<j) তাকে নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix)
কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A=aijm×m কে m ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি aij=0 হয় যখন ij অর্থাৎ মুখ্য বা প্রধান কর্ণের ভুক্তি ব্যতীত অপর সকল ভুক্তি (0) হবে।
স্কেলার ম্যাট্রিক্স (Scalar Matrix)
কোনো কর্ণ ম্যাট্রিক্সের অশূন্য ভুক্তিগুলো সমান হলে, ওই কর্ণ ম্যাট্রিক্সকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)
কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স 𝐴=(𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑚A=(aij)m×m কে m ক্রমের একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স বলা যাবে যদি 𝑖≠𝑗i=j যখন 𝑎𝑖𝑗=1aij=1 এবং যখন i=j এর জন্য 𝑎𝑖𝑗=0aij=0 হয়।
অর্থাৎ কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের মুখ্য বা প্রধান কর্ণের ভুক্তি ব্যতীত অপর সকল ভুক্তি (0) এবং প্রধান কর্ণের প্রত্যেক ভুক্তি 1 হলে তাকে অভেদক বা একক ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
শূন্য ম্যাট্রিক্স (Null Matrix)
কোনো ম্যাট্রিক্সের সকল ভুক্তি 0 হলে তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে।
সমঘাতি ম্যাট্রিক্স (Idempotent Matrix)
বর্গাকার কোনো ম্যাট্রিক্সকে সমঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি 𝐴2=𝐴A2=A হয়।
শূন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স (Nilpotent Matrix)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A কে শূণ্যঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি 𝐴𝑛=0An=0 হয় যেখানে n∈N। যদি সর্বনিম্ন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা n এর জন্য 𝐴𝑛=0An=0 হয়, তবে ম্যাট্রিক্স A কে n এর শূণ্যঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স (Involutory Matrix)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A কে অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি 𝐴2=𝐼A2=I হয়।
ট্রান্সপোস ম্যাট্রিক্স (Transpose Matrix)
কোনো ম্যাট্রিক্স A এর যথাযথ সারি এবং কলাম বিনিময় করলে যে নতুন ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে ম্যাট্রিক্স A এর ট্রান্সপোস ম্যাট্রিক্স বলা হয়। A ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোস মেট্রিক্সকে 𝐴+A+ বা 𝐴′A′ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
ধরি, 𝐴=[−101230413]A=⎣⎡−124031103⎦⎤ হলে, 𝐴+=[−124031103]A+=⎣⎡−101230413⎦⎤
প্রতিসম ম্যাট্রিক্স (Symmetric Matrix)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স 𝐴=(𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑚\nA=(aij)n×m\n কে প্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি 𝐴+=𝐴′A+=A′ হয় অর্থাৎ 𝑎𝑖𝑗=𝑎𝑗𝑖aij=aji হয়।
বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স(Skew Symmetric)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স 𝐴=(𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑚\nA=(aij)n×m\n কে বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি 𝐴+=−𝐴′A+=−A′ হয় অর্থাৎ 𝑎𝑖𝑗=−𝑎𝑗𝑖aij=−aji হয়। উল্লেখ্য যে প্রত্যেকটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তি সমূহ 0 অর্থাৎ 𝑎𝑖𝑗=0aij=0 যখন i=j।
উপ-ম্যাট্রিক্স (Sub Matrix)
কোনো একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সংখ্যক কলাম ও সারির ভুক্তি বাদ দিয়ে গঠিত আরেকটি ম্যাট্রিক্সকে মূল ম্যাট্রিক্সের উপ-ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
লম্ব ম্যাট্রিক্স (Normal Matrix)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A কে লম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি 𝐴𝐴+=𝐴+𝐴=𝐼AA+=A+A=I হয়।
ম্যাট্রিক্সের ট্রেস (Trace of a Matrix)
কোনো ম্যাট্রিক্সের প্রধান বা মূখ্য কর্ণের ভুক্তি সমূহের যোগফলকে ম্যাট্রিক্সের ট্রেস বলা হয়।
ম্যাট্রিক্সের সমতা (Equivalence of Matrix)
দুটি ম্যাট্রিক্সকে সমান বলা হবে যদি এদের ক্রম সমান হয় এবং উভয়ের অনুরূপ ভুক্তিসমূহ পরস্পর সমান হয়।
হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স (Hermitian Matrix)
কোনো বর্গ ম্যাটিক্স 𝐴=(𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑚\nA=(aij)n×m\n হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে যদি 𝐴𝜃=𝐴Aθ=A অর্থাৎ 𝑎𝑖𝑗=𝑎𝑖𝑗ˉaij=aijˉ হয় সকল 1≤𝑖,𝑗≤𝑛1≤i,j≤n এর জন্য।
যেমন: 𝐴=[23+𝑖4+𝑖3−𝑖43+2𝑖4−𝑖3−2𝑖6]A=⎣⎡23−i4−i3+i43−2i4+i3+2i6⎦⎤∴𝐴𝑇=[23−𝑖4−𝑖3+𝑖43−2𝑖4+𝑖3+2𝑖6]∴AT=⎣⎡23+i4+i3−i43+2i4−i3−2i6⎦⎤ ∴𝐴𝜃=𝐴𝑇ˉ=[23−𝑖4−𝑖3+𝑖43−2𝑖4+𝑖3+2𝑖6]=𝐴∴Aθ=ATˉ=⎣⎡23+i4+i3−i43+2i4−i3−2i6⎦⎤=A
Note:
(i) হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্সের মুখ্য কর্ণ বরাবর সকল উপাদানসমূহ অবশ্যই বাস্তব হবে।
(ii) যেকোনো বর্গ A ম্যাট্রিক্সের উপাদানসমূহ জটিল সংখ্যা হলে 𝐴=𝐴𝜃A=Aθ হারমিসিয়ান ম্যাটিক্স হবে।
বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স (Inverse Hermitian Matrix)
কোনো বর্গ ম্যাটিক্স 𝑎=[𝑎𝑖𝑗]𝑛×𝑛a=[aij]n×n বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে যদি 𝐴𝜃=−𝐴Aθ=−A অর্থাৎ 𝑎𝑖𝑗=−𝑎𝑖𝑗ˉaij=−aijˉ হয়, সকল 1≤i, j≤n এর জন্য।
যেমন : 𝐴=[2𝑖−2−3𝑖−2+𝑖2−3𝑖−𝑖3𝑖2+𝑖3𝑖0]A=⎣⎡2i2−3i2+i−2−3i−i3i−2+i3i0⎦⎤ ∴𝐴𝑇=[2𝑖2−3𝑖2+𝑖2−3𝑖−𝑖3𝑖−2+𝑖3𝑖0]∴AT=⎣⎡2i2−3i−2+i2−3i−i3i2+i3i0⎦⎤ ∴𝐴𝜃=𝐴𝑇ˉ=−𝐴∴Aθ=ATˉ=−A
Note :
- বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্সের মুখ্য কর্ণ বরাবর সকল উপাদান সমূহ অবশ্যই সম্পূর্ণ কাল্পনিক বা শূন্য হবে।
- যেকোন বর্গ A ম্যাট্রিক্সের উপাদানসমূহ জটিল সংখ্যা হলে 𝐴−𝐴𝜃A−Aθ ( বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
- যেকোন বর্গ A ম্যাট্রিক্সের উপাদানসমূহ জটিল সংখ্যা হলে A ম্যাট্রিক্সকে একটি মাত্র উপায়ে হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স এবং বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্সের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যাবে।
- অর্থাৎ 𝐴=12(𝐴+𝐴𝜃)+12(𝐴−𝐴𝜃)A=21(A+Aθ)+21(A−Aθ)
হারমিসিয়ান এবং বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য :
- যদি A বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে 𝐴𝐴𝜃AAθ এবং 𝐴𝜃𝐴AθA হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
- যদি A হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হয় তবে−
- iA বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
- 𝐴ˉAˉ হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
- kA হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে। যেখানে k∈R
3. যদি A বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হয় তবে
- iA হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
- 𝐴ˉAˉ বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
- kA বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
4. যদি A এবং B একই ক্রমের হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হয় তবে
- 𝑘1𝐴+𝑘2𝐵k1A+k2B ম্যাট্রিক্সও হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে যেখানে 𝑘1,𝑘2𝜖𝑅k1,k2ϵR
- AB হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে যদি AB=BA হয়।
- AB+BA হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
- AB – BA বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
5.যদি A এবং B প্রত্যেকেই একই মাত্রার বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হয় তবে 𝑘1𝐴+𝑘2𝐵k1A+k2B ম্যাট্রিক্সও বিপরীত হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স হবে।
ইউনিট্যারী ম্যাট্রিক্স (Unitary Matrix)
কোন বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে তার অনুবন্ধী বিম্ব ম্যাট্রিক্স গুণ করলে যদি গুণফল অভেদ ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তবে তাকে ইউনিটারী ম্যাট্রিক্স বলে। যদি A ইউনিট্যারী ম্যাট্রিক্স হয় তবে, 𝑘1𝐴+𝑘2𝐵k1A+k2B
যেমন: 𝑎=13[11+𝑖1−𝑖−1]a=31[11−i1+i−1]
∴𝐴𝜃=𝐴𝑇ˉ=13[11+𝑖1−𝑖−1]∴Aθ=ATˉ=31[11−i1+i−1]𝐴𝐴𝜃=𝐴𝑇ˉ=13[11+𝑖1−𝑖−1]13[11+𝑖1−𝑖−1]=13[3003]=[1001]=𝐼2AAθ=ATˉ=31[11−i1+i−1]31[11−i1+i−1]=31[3003]=[1001]=I2
Note:
- 𝐴𝐴𝜃=𝐼AAθ=I হলে, 𝐴−1=𝐴𝜃A−1=Aθ
- A এবং B উভয়ই একই মাত্রার ইউনিট্যারী ম্যাট্রিক্স হলে AB ম্যাট্রিক্সও ইউনিট্যারী ম্যাট্রিক্স হবে।
- A ইউনিট্যারী ম্যাট্রিক্স হলে 𝐴−1,𝐴𝑇𝐴A−1,ATA উভয়ই ইউনিট্যারী ম্যাট্রিক্স হবে।
ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক (Determinant of Matrix)
যদি কোনো বর্গ A ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলোর অবস্থান ঠিক রেখে নির্ণায়ক তৈরি করা হয় তবে তাকে উক্ত A ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বা A ম্যাট্রিক্সের মান বলে। ইহালে ∣𝐴∣∣A∣ বা det A দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের বৈশিষ্ট্য (Properties of Matrix Determinant)
যদি A এবং B উভয়ই একই মাত্রার বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে (𝑖)∣𝐴𝑇∣=∣𝐴∣(𝑖𝑖)∣𝐴𝐵∣=∣𝐴∣∣𝐵∣এবং∣𝐵𝐴∣=∣𝐵∣∣𝐴∣(𝑖𝑖𝑖)𝐴লম্বিকম্যাট্রিক্সহলে∣𝐴∣=±1(𝑖𝑣)𝐴বিজোড়ক্রমেরবিপ্রতিসমম্যাট্রিক্সহলে∣𝑎∣=0(𝑣)𝐴জোড়ক্রমেরবিপ্রতিসমম্যাট্রিক্সহলে∣𝑎∣পূর্ণবর্গসংখ্যাহবে।(𝑣𝑖)∣𝑘𝐴∣=𝑘𝑛∣𝐴∣যেখানে𝑘স্কেলারএবং𝐴ম্যাট্রিক্সেরক্রম𝑛।(𝑣𝑖𝑖)∣𝐴𝑛∣=∣𝐴∣𝑛যেখানে𝑛∈𝑁.(𝑣𝑖𝑖𝑖)𝐴=𝑑𝑖𝑎𝑔{𝑎1,𝑎2,𝑎3,.……𝑎𝑛}হলে∣𝐴∣=𝑎1,𝑎2,𝑎3,.……𝑎𝑛(i)∣∣AT∣∣=∣A∣(ii)∣AB∣=∣A∣∣B∣এবং∣BA∣=∣B∣∣A∣(iii)Aলম্বিকম্যাট্রিক্সহলে∣A∣=±1(iv)Aবিজোড়ক্রমেরবিপ্রতিসমম্যাট্রিক্সহলে∣a∣=0(v)Aজোড়ক্রমেরবিপ্রতিসমম্যাট্রিক্সহলে∣a∣পূর্ণবর্গসংখ্যাহবে।(vi)∣kA∣=kn∣A∣যেখানেkস্কেলারএবংAম্যাট্রিক্সেরক্রমn।(vii)∣An∣=∣A∣nযেখানেn∈N.(viii)A=diag{a1,a2,a3,.……an}হলে∣A∣=a1,a2,a3,.……an
💻 শেখার সিঁড়ি’র লাইভ এডমিশন ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে সরাসরি চলে যেতে পারো এই লিঙ্কে: www.shekharsiri.com
✍️ শেখার সিঁড়ি ব্লগের জন্য কোনো লেখা পাঠাতে চাইলে, সরাসরি তোমার লেখাটি ই-মেইল কর এই ঠিকানায়: support@shekharsiri.com
